कैलकुलस उदाहरण

$y = (x^{2} - 80) e^{x}$

चरण 1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = x^{2} e^{x} - 80 e^{x}$

चरण 2

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = x^{2} e^{x} - 80 e^{x}$

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} e^{x} - 80 e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 80 e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 80 e^{x}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80 e^{x}]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80 e^{x}]$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 80 e^{x}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- 80 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 80$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 80 e^{x}$ का व्युत्पन्न $- 80 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 80 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.3.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 80 e^{x}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 80 e^{x}$

चरण 3.4.2

गुणनखंडों को $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 80 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 80 e^{x}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 80 e^{x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 80 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$x^{2} e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 80 e^{x} = 0$

चरण 4.1.1.2

$2 x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 80 e^{x} = 0$

चरण 4.1.1.3

$- 80 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 80 = 0$

चरण 4.1.1.4

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 80 = 0$

चरण 4.1.1.5

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 80$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 80) = 0$

चरण 4.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 2 x - 80$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 80$ है और जिसका योग $2$ है.

$- 8, 10$

चरण 4.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$e^{x} ((x - 8) (x + 10)) = 0$

चरण 4.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$e^{x} (x - 8) (x + 10) = 0$

चरण 4.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 10 = 0$

चरण 4.3

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 4.3.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 4.3.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 4.4

$x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 8 = 0$

चरण 4.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$x = 8$

चरण 4.5

$x + 10$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$x + 10$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 10 = 0$

चरण 4.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $10$ घटाएं.

$x = - 10$

चरण 4.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (x - 8) (x + 10) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 8, - 10$

चरण 5

मूल फलन $f (x) = x^{2} e^{x} - 80 e^{x}$ को $x = 8$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f (8) = {(8)}^{2} e^{8} - 80 e^{8}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (8) = 64 e^{8} - 80 e^{8}$

चरण 5.2.2

$64 e^{8}$ में से $80 e^{8}$ घटाएं.

$f (8) = - 16 e^{8}$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 16 e^{8}$ है.

$- 16 e^{8}$

चरण 6

मूल फलन $f (x) = x^{2} e^{x} - 80 e^{x}$ को $x = - 10$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 10$ से बदलें.

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} e^{- 10} - 80 e^{- 10}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 10) = 100 e^{- 10} - 80 e^{- 10}$

चरण 6.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 10) = 100 (\frac{1}{e^{10}}) - 80 e^{- 10}$

चरण 6.2.1.3

$100$ और $\frac{1}{e^{10}}$ को मिलाएं.

$f (- 10) = \frac{100}{e^{10}} - 80 e^{- 10}$

चरण 6.2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 10) = \frac{100}{e^{10}} - 80 \frac{1}{e^{10}}$

चरण 6.2.1.5

$- 80$ और $\frac{1}{e^{10}}$ को मिलाएं.

$f (- 10) = \frac{100}{e^{10}} + \frac{- 80}{e^{10}}$

चरण 6.2.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- 10) = \frac{100}{e^{10}} - \frac{80}{e^{10}}$

चरण 6.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (- 10) = \frac{100 - 80}{e^{10}}$

चरण 6.2.2.2

$100$ में से $80$ घटाएं.

$f (- 10) = \frac{20}{e^{10}}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{20}{e^{10}}$ है.

$\frac{20}{e^{10}}$

चरण 7

फलन $f (x) = x^{2} e^{x} - 80 e^{x}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = - 16 e^{8}, y = \frac{20}{e^{10}}$ हैं.

$y = - 16 e^{8}, y = \frac{20}{e^{10}}$

चरण 8