कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \arctan (x^{2})$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.2

$\frac{1}{1 + x^{4}}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

चरण 1.3.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$2$ और $\frac{5}{1 + x^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

चरण 1.3.4.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

चरण 1.3.4.3

$\frac{10}{1 + x^{4}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

चरण 1.3.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ है.

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{4} + 1$ है.

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2

$x^{4} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.6.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4.2

$x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.5

$x^{4}$ में से $4 x^{4}$ घटाएं.

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.6

$10$ और $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

$- 3$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.2.2

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.3

$- 30 x^{4} + 10$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.1

$- 30 x^{4}$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.3.2

$10$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.3.3

$10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.4

$- 3 x^{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.5

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.6

$- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.7

$- (3 x^{4} - 1)$ को $- 1 (3 x^{4} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ है.

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$