कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 81$ है.

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

$2$ को $x^{2} + 81$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 81$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $81$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $81$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.2

$2$ को $81$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.2

$2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.2.2

$162 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ है.

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$162 x = 0$

चरण 2.3

$162 x = 0$ के प्रत्येक पद को $162$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$162 x = 0$ के प्रत्येक पद को $162$ से विभाजित करें.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$162$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{162}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $162$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ है.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$162$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2

$1$ और $81$ जोड़ें.

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

चरण 5.2.2.3

$82$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

चरण 5.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$- 162$ और $6724$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

$- 162$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

चरण 5.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.2.1

$6724$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

चरण 5.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

चरण 5.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

चरण 5.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{81}{3362}$ है.

$- \frac{81}{3362}$

चरण 5.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{81}{3362}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$162$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$1$ और $81$ जोड़ें.

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$82$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

चरण 6.2.3

$162$ और $6724$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$162$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

चरण 6.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

$6724$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

चरण 6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

चरण 6.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{81}{3362}$ है.

$\frac{81}{3362}$

चरण 6.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{81}{3362}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0)$

चरण 8