कैलकुलस उदाहरण

$\sin (\frac{x}{2})$

चरण 1

$\sin (\frac{x}{2})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 2.1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 2.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

चरण 2.1.1.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

चरण 2.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

चरण 2.1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

चरण 2.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

चरण 2.1.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 2.1.2.3.2

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.2.3.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.2.3.4

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

चरण 2.1.2.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ है.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

चरण 2.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

चरण 2.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

चरण 2.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{x}{2} = 0$

चरण 2.2.3.3

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.2.3.4

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$\frac{x}{2} = π - 0$

चरण 2.2.3.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

चरण 2.2.3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.5.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.5.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

चरण 2.2.3.5.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 (π - 0)$

चरण 2.2.3.5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.5.2.2.1

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 2.2.3.6

$\sin (\frac{x}{2})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.2.3.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

चरण 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 2.2.3.6.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 2.2.3.6.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 2.2.3.7

$\sin (\frac{x}{2})$ फलन की अवधि $4 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $4 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.2.4

उत्तरों को समेकित करें.

$x = 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

चरण 5.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

चरण 5.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

चरण 5.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

चरण 5.2.1.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

चरण 5.2.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

चरण 5.2.3

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$f'' (0) = - 0$

चरण 5.2.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0$

चरण 5.2.5

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- \infty, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6