कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 3$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2^{x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ है.

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $2$ है.

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

चरण 1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

चरण 1.4

$x = 3$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

चरण 1.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

चरण 1.5.2

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

चरण 1.5.3

$8$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 8 \ln (2)$ को सरल करें.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

चरण 1.5.4

$2$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \ln (256) + 2 (3)$

चरण 1.5.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- \ln (256) + 6$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \ln (256) + 6$ और दिए गए बिंदु $(3, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

चरण 2.3.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

चरण 2.3.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.4.1.1

$- \ln (256) \cdot - 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.4.1.1.1

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4.1.1.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (256)$ को सरल करें.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4.1.2

$256$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4.1.3

$6$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

चरण 2.3.1.4.2

गुणनखंडों को $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ में पुन: क्रमित करें.

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

चरण 2.3.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

चरण 2.3.3

$1$ में से $18$ घटाएं.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

चरण 2.3.4

समीकरण को $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

चरण 2.3.5

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x$ घटाएं.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

चरण 2.3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $17$ जोड़ें.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

चरण 2.3.6

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.2

$- 1 \cdot (x \ln (256))$ को $- (x \ln (256))$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.3

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.4

$\ln (16777216)$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.5

ऋणात्मक को $\frac{- 6 x}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.6

$- 1 \cdot (- 6 x)$ को $- (- 6 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.7

$- 6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

चरण 2.3.6.3.1.8

$17$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

चरण 2.3.7

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\ln (16777216)$ ले जाएं.

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

चरण 2.3.7.2

$- x \ln (256)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

चरण 2.3.7.3

$6 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

चरण 2.3.7.4

$x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

चरण 2.3.7.5

$x$ और $- 1 \ln (256) + 6$ को पुन: क्रमित करें.

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

चरण 3