कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

चरण 1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

चरण 1.3

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.7

$\frac{1}{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

चरण 3.8

$x$ के संबंध में $\log_{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x \ln (2)}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

चरण 4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

चरण 5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ और $\frac{1}{x + 1}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

चरण 5.2

$\frac{x}{x + 1}$ और $\ln (2)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

चरण 6

$\ln (2)$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

चरण 7

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x$ है.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

चरण 8.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

चरण 8.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

चरण 8.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

चरण 8.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

चरण 8.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

चरण 8.5

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 8.6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 9

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

चरण 10.2

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

चरण 10.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2) \cdot 1$

चरण 10.3

$\ln (2)$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (2)$