कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 3.1.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 3.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.1.2.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

चरण 3.1.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ है.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ पर निरंतर है और $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ पर निरंतर है और $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 7.2.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 7.2.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

चरण 7.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 8

$x$ के लिए $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

चरण 8.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

चरण 8.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1.1

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

चरण 8.2.2.1.1.2

जोड़ना.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3

रद्द करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.3.2.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

चरण 8.2.2.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.3.4.1

$- \frac{π}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

चरण 8.2.2.1.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

चरण 8.2.2.1.3.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

चरण 8.2.2.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.4.1

$\sqrt{2}$ में से $\sqrt{2}$ घटाएं.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

चरण 8.2.2.1.4.2

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

चरण 8.2.2.1.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.4.3.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

चरण 8.2.2.1.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

चरण 8.2.2.1.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

चरण 8.2.2.1.4.4

$0$ को $π$ से विभाजित करें.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

चरण 8.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

चरण 8.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 8.5

चूंकि समीकरण के प्रत्येक पक्ष के व्यंजक का हर समान होता है, इसलिए भाजक बराबर होने चाहिए.

$x = π$

चरण 8.6

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 8.7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 8.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 8.7.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 8.7.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.2.1

$2 (2 π - \frac{π}{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.2.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 8.7.2.2.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 8.7.2.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 8.7.2.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.2.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 8.7.2.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

चरण 8.7.2.2.1.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = 4 π - π$

चरण 8.7.2.2.1.6

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = 3 π$

चरण 8.8

$\cos (\frac{x}{2})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.8.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 8.8.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

चरण 8.8.3

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 8.8.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 8.8.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 8.9

$\cos (\frac{x}{2})$ फलन की अवधि $4 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $4 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8.10

उत्तरों को समेकित करें.

$x = π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 9

अंत बिंदुओं $a = \frac{π}{2}$ और $b = \frac{3 π}{2}$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = π + 2 π n$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = \frac{π}{2}$ और $b = \frac{3 π}{2}$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = π + 2 π n$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 10