कैलकुलस उदाहरण

$6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

चरण 1

$6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

चरण 2.1.1.2.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 2.1.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.1.1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.1.1.3.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

चरण 2.1.1.3.7

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 x + 12 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

चरण 2.1.2.2.2

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

चरण 2.1.2.2.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 2.1.2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.2.3.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.1.2.3.4

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.1.2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.1.2.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.1.2.3.7

$- 2$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 - 24 \sin (2 x)$ है.

$12 - 24 \sin (2 x)$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $12$ घटाएं.

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

चरण 2.2.3

$- 24 \sin (2 x) = - 12$ के प्रत्येक पद को $- 24$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$- 24 \sin (2 x) = - 12$ के प्रत्येक पद को $- 24$ से विभाजित करें.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

चरण 2.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$- 24$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

चरण 2.2.3.2.1.2

$\sin (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

चरण 2.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.3.1

$- 12$ और $- 24$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.3.1.1

$- 12$ में से $- 12$ का गुणनखंड करें.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

चरण 2.2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.3.1.2.1

$- 24$ में से $- 12$ का गुणनखंड करें.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

चरण 2.2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

चरण 2.2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

चरण 2.2.4

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 2.2.5

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$2 x = \frac{π}{6}$

चरण 2.2.6

$2 x = \frac{π}{6}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$2 x = \frac{π}{6}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

चरण 2.2.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

चरण 2.2.6.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

चरण 2.2.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 2.2.6.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.3.2.1

$\frac{π}{6}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

चरण 2.2.6.3.2.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{12}$

चरण 2.2.7

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

चरण 2.2.8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 2.2.8.1.2

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 2.2.8.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 2.2.8.1.4

$π \cdot 6$ में से $π$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1.4.1

$π$ और $6$ को पुन: क्रमित करें.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 2.2.8.1.4.2

$6 \cdot π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

चरण 2.2.8.2

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.1

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

चरण 2.2.8.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

चरण 2.2.8.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

चरण 2.2.8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 2.2.8.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

चरण 2.2.8.2.3.2.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{5 π}{12}$

चरण 2.2.9

$\sin (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.2.9.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 2.2.9.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 2.2.9.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 2.2.9.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 2.2.10

$\sin (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 12 - 24 \sin (2 (0))$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 12 - 24 \sin (0)$

चरण 5.2.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f'' (0) = 12 - 24 \cdot 0$

चरण 5.2.1.3

$- 24$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 12 + 0$

चरण 5.2.2

$12$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = 12$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $12$ है.

$12$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- \infty, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6