कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[0, π]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 3.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 3.1.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.1.3.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 3.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

चरण 3.1.3.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ है.

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(0, π)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(0, π)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(0, π)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(0, π)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[0, π]$ पर निरंतर है और $(0, π)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[0, π]$ पर निरंतर है और $(0, π)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[0, π]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

चरण 7.2.1.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

चरण 7.2.1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + \sin (0)$

चरण 7.2.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (0) = 0 + 0$

चरण 7.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 8

$x$ के लिए $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\cos (2 x)$ को $1 - 2 \sin^{2} (x)$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

चरण 8.2.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

चरण 8.2.1.3

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

चरण 8.3.1.1.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

चरण 8.3.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

चरण 8.3.1.2.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

चरण 8.3.1.3

$0$ को $π$ से विभाजित करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

चरण 8.4

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

$- 4 \sin^{2} (x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ से बदलें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 8.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 8.4.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 8.4.2.3

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

चरण 8.4.3

$2$ में से $4$ घटाएं.

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

चरण 8.4.4

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

चरण 8.4.5

$u$ को $\cos (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

चरण 8.4.6

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.6.1

$4 u^{2} + 2 u - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.6.1.1

$4 u^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

चरण 8.4.6.1.2

$2 u$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

चरण 8.4.6.1.3

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

चरण 8.4.6.1.4

$2 (2 u^{2}) + 2 u$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

चरण 8.4.6.1.5

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

चरण 8.4.6.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.6.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.6.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.6.2.1.1.1

$1$ से गुणा करें.

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

चरण 8.4.6.2.1.1.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

चरण 8.4.6.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

चरण 8.4.6.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.6.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

चरण 8.4.6.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

चरण 8.4.6.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

चरण 8.4.6.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

चरण 8.4.7

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 8.4.8

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.8.1

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u - 1 = 0$

चरण 8.4.8.2

$u$ के लिए $2 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 u = 1$

चरण 8.4.8.2.2

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.8.2.2.1

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 8.4.8.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.8.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.8.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 8.4.8.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 8.4.9

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.9.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 8.4.9.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 8.4.10

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 8.4.11

$\cos (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 8.4.12

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

चरण 8.4.13

$x$ के लिए $\cos (x) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.13.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 8.4.13.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.13.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 8.4.13.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

चरण 8.4.13.4

$2 π - \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.13.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 8.4.13.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.13.4.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 8.4.13.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 8.4.13.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.13.4.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

चरण 8.4.13.4.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{3}$

चरण 8.4.13.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.13.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 8.4.13.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 8.4.13.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 8.4.13.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 8.4.13.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8.4.14

$x$ के लिए $\cos (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.14.1

$x = \arccos (- 1)$

चरण 8.4.14.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.14.2.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 8.4.14.3

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 8.4.14.4

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 8.4.14.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.14.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 8.4.14.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 8.4.14.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 8.4.14.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 8.4.14.6

$x = π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8.4.15

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8.4.16

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 9

अंत बिंदुओं $a = 0$ और $b = π$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = 0$ और $b = π$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 10