कैलकुलस उदाहरण

$y = x {(2 x + 3)}^{5}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(2 x + 3)}^{5}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{5}] + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = 2 x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 3$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.6.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.7

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \cdot 1$

चरण 1.3.8

${(2 x + 3)}^{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$ में से ${(2 x + 3)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$x (10 {(2 x + 3)}^{4})$ में से ${(2 x + 3)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{5}$

चरण 1.4.1.2

${(2 x + 3)}^{5}$ में से ${(2 x + 3)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$

चरण 1.4.1.3

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$ में से ${(2 x + 3)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10) + 2 x + 3)$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$10$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(2 x + 3)}^{4} (10 \cdot x + 2 x + 3)$

चरण 1.4.2.2

$10 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$f' (x) = {(2 x + 3)}^{4} (12 x + 3)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(2 x + 3)}^{4}$ और $g (x) = 12 x + 3$ है.

${(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [12 x + 3] + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

${(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

${(2 x + 3)}^{4} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2.3

${(2 x + 3)}^{4} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2.4

$12$ को $1$ से गुणा करें.

${(2 x + 3)}^{4} (12 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(2 x + 3)}^{4} (12 + 0) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$12$ और $0$ जोड़ें.

${(2 x + 3)}^{4} \cdot 12 + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.2.6.2

$12$ को ${(2 x + 3)}^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$12 \cdot {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 2 x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 3$ के रूप में सेट करें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$4$ को $12 x + 3$ के बाईं ओर ले जाएं.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 \cdot (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

चरण 2.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 2.4.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 2.4.4

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 2.4.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 2.4.6

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

चरण 2.4.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

चरण 2.4.7.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 8 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (8 (12 x) + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

चरण 2.5.2

$12$ को $8$ से गुणा करें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

चरण 2.5.3

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

चरण 2.5.4

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ में से ${(2 x + 3)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$12 {(2 x + 3)}^{4}$ में से ${(2 x + 3)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

चरण 2.5.4.2

$(96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ में से ${(2 x + 3)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$

चरण 2.5.4.3

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$ में से ${(2 x + 3)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = {(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3) + 96 x + 24)$