कैलकुलस उदाहरण

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

चरण 1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$r^{2} \cos (2 θ)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

चरण 1.1.2

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

चरण 1.1.2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

चरण 1.1.2.2.2

$- 1$ को $r^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

चरण 1.1.3

$- 1 r^{2}$ को $- r^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

चरण 2

$\cos (θ) = \frac{x}{r}$ के बाद से, $\cos (θ)$ को $\frac{x}{r}$ से बदलें.

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

चरण 3

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ के बाद से, $r^{2}$ को $x^{2} + y^{2}$ से और $r$ को $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ से बदलें.

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4

मानक रूप लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.2

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ से गुणा करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.3.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ से गुणा करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.2

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.6

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.3.6.1

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.3.6.5

सरल करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.4

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ पर लागू करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.4.2

उत्पाद नियम को $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ पर लागू करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.5

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.5.1

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.5.5

सरल करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.6

$x^{2} + y^{2}$ और ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.6.1

$x^{2} (x^{2} + y^{2})$ में से $x^{2} + y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.6.2.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ में से $x^{2} + y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.7

$2 x^{2} + 2 y^{2}$ को $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.8

$2 x^{2} + 2 y^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.8.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.8.2

$2 y^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.8.3

$2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.9

$x^{2} + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.9.2

$2 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

चरण 4.1.1.1.10

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

चरण 4.1.1.2

$2 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$x^{2} - y^{2} = 1$

चरण 4.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

चरण 4.1.3

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 4.1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 4.1.3.2.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 4.1.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.1.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 4.1.3.3.1.2

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

चरण 4.1.3.3.1.3

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

चरण 4.1.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

चरण 4.1.5

$\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

चरण 4.1.5.1.2

$- 1^{2}$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

चरण 4.1.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 4.1.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 4.1.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 4.1.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 4.2

एक बहुपद को मानक रूप में लिखने के लिए, सरल करें और फिर पदों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए.

$y = a x^{2} + b x + c$

चरण 4.3

मानक रूप $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ है.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

चरण 5