कैलकुलस उदाहरण

$x \ln (x) - x$

चरण 1

$x \ln (x) - x$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x \ln (x) - x$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x \ln (x) - x d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x \ln (x) d x + \int - x d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

चरण 6.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x) + \int - x d x$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x) + \int - x d x$

चरण 8.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x) + \int - x d x$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x) + \int - x d x$

चरण 8.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

चरण 8.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

चरण 8.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x) + \int - x d x$

चरण 8.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int - x d x$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x + \int - x d x$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

चरण 12.2

सरल करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 12.3.2

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C$

चरण 12.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + C$

चरण 12.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - x^{2} \cdot 2}{4} + C$

चरण 12.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - 2 x^{2}}{4} + C$

चरण 12.3.5

$- x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + C$

चरण 12.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = x \ln (x) - x$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$