कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} - x - \ln (x)$

चरण 1

$x^{2} - x - \ln (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - x - \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 2.1.1.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

चरण 2.1.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - \frac{1}{x} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.2.2

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.6

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.7

$\frac{1}{x}$ को $0$ से गुणा करें.

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.8

$x^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + x^{- 2} + 0$

चरण 2.1.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

चरण 2.1.2.5.2

$2 + \frac{1}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

चरण 2.1.2.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1}{x^{2}} + 2$ है.

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

चरण 2.2.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$x^{2}, 1$

चरण 2.2.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{2}$

चरण 2.2.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

चरण 2.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

चरण 2.2.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = - 2 x^{2}$

चरण 2.2.5

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

समीकरण को $- 2 x^{2} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x^{2} = 1$

चरण 2.2.5.2

$- 2 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

$- 2 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

चरण 2.2.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

चरण 2.2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

चरण 2.2.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

चरण 2.2.5.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

चरण 2.2.5.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.4.1

$- \frac{1}{2}$ को $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.4.1.1

$- 1$ को $i^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

चरण 2.2.5.4.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

चरण 2.2.5.4.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

चरण 2.2.5.4.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

चरण 2.2.5.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

चरण 2.2.5.4.5

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 2.2.5.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

चरण 2.2.5.4.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 2.2.5.4.7.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 2.2.5.4.7.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 2.2.5.4.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 2.2.5.4.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 2.2.5.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.4.7.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 2.2.5.4.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.2.5.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.2.5.4.7.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.4.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.2.5.4.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 2.2.5.4.7.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 2.2.5.4.8

$i$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

चरण 2.2.5.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

चरण 2.2.5.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

चरण 2.2.5.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

चरण 3

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x > 0$

चरण 3.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(0, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(0, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

चरण 5.2.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

चरण 5.2.3

$2$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

चरण 5.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

चरण 5.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

चरण 5.2.5.2

$1$ और $8$ जोड़ें.

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

चरण 5.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{9}{4}$ है.

$\frac{9}{4}$

चरण 5.3

अंतराल $(0, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (2)$ धनात्मक है.

$(0, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6