कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$

चरण 1.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{5}{3}$ है.

$5 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.6.2

$5$ में से $3$ घटाएं.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.7.1

$\frac{5}{3}$ और ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.1.7.2

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 1.1.1.7.3

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 1.1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.1.1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.1.1.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

चरण 1.1.1.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

चरण 1.1.1.11.2

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{25}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$ है.

$\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$

चरण 1.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$\frac{25}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.6.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.7.2

$\frac{2}{3}$ और ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{25}{3} (\frac{2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 1.1.2.7.4

$\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ को $\frac{25}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 25}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 1.1.2.7.5

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.5.1

$2$ को $25$ से गुणा करें.

$\frac{50}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 1.1.2.7.5.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 1.1.2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.1.2.9

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 1.1.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

चरण 1.1.2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

चरण 1.1.2.11.2

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ है.

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$50 = 0$

चरण 1.2.3

$50 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2

$f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$5 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{5}}$

चरण 2.2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है.

ग्राफ अवतल ऊपर है

चरण 4