कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 15 \sqrt{x (x - 3)}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{x (x - 3)}$ को ${(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $15$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x (x - 3)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x (x - 3)$ के रूप में सेट करें.

$15 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$15 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x (x - 3)$ से बदलें.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$15 (\frac{{(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$15 (\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

चरण 7.4

$\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}}$ और $15$ को मिलाएं.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)]$

चरण 8

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x - 3$ है.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9.4.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9.5

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \cdot 1)$

चरण 9.6

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1

$x - 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + x - 3)$

चरण 9.6.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

उत्पाद नियम को $x (x - 3)$ पर लागू करें.

$\frac{15}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})} (2 x - 3)$

चरण 10.2

$\frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x - 3) \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$