कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

चरण 1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{3 e^{x}}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

चरण 2

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{3 e^{x}}$ को $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

चरण 2.2

$3 e^{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{3 e^{x}})$ का प्रसार करें.

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 e^{x} \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 e^{x} \ln (x)$ से बदलें.

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

चरण 4

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 e^{x} \ln (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ है.

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

चरण 4.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

चरण 5

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 7

$e^{x}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

चरण 8

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{e^{x}}{x}$ और $15$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.2

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ और $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.3

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$e^{3 e^{x} \ln (x)}$ ले जाएं.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.3.3

$3 e^{x} \ln (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.3.1

$\ln (x)$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.3.3.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \cdot \ln (x)$ को सरल करें.

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.3.4

गुणनखंडों को $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.4

$15$ को $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

चरण 9.2.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

चरण 9.2.6

$15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

चरण 9.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

चरण 9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$