कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

चरण 1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $t$ के संबंध में $50$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $50$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

चरण 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 25$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ है.

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t^{2}$ और $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ है.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{2}$ और $g (t) = t + 3$ है.

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चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t + 3$ के रूप में सेट करें.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t + 3$ से बदलें.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ है.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.7

चूंकि $t$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.8

$2$ को ${(t + 3)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.9

$1$ और $0$ जोड़ें.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.10

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.11

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.12

घातांक को ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

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चरण 2.12.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.12.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 2.13

$- 25$ और $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 2.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.3.1

$2$ को $25$ से गुणा करें.

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.2

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.5

$- 2$ को $25$ से गुणा करें.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.6

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.7

$- 6$ को $25$ से गुणा करें.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.3.8

$0$ में से $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ घटाएं.

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ में से $50 t$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$50 {(t + 3)}^{2} t$ में से $50 t$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.1.2

$- 50 t^{3}$ में से $50 t$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.1.3

$- 150 t^{2}$ में से $50 t$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.1.4

$50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ में से $50 t$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.1.5

$50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ में से $50 t$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.2

${(t + 3)}^{2}$ को $(t + 3) (t + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(t + 3) (t + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1.1

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.4.1.2

$3$ को $t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.4.1.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.4.2

$3 t$ और $3 t$ जोड़ें.

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.5

$t^{2}$ में से $t^{2}$ घटाएं.

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.6

$6 t$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.7

$6 t$ में से $3 t$ घटाएं.

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.8

$3 t + 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.1

$3 t$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.8.2

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.8.3

$3 t + 3 \cdot 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.4.9

$3$ को $50$ से गुणा करें.

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.5

$t + 3$ और ${(t + 3)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$150 t (t + 3)$ में से $t + 3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

चरण 3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

${(t + 3)}^{4}$ में से $t + 3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

चरण 3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

चरण 3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$