कैलकुलस उदाहरण

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ से बदलें.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 1 + \sin (x)$ है.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 4.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ जोड़ें.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 6

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 7

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 10

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

चरण 11

$4$ को $(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

उत्पाद नियम को $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ पर लागू करें.

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 (- 1 \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.2

$- 1 \sin (x)$ को $- \sin (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.4

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.5

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.8

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.9

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.10

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ को $\frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{3}}$

चरण 12.4.11

घातांक जोड़कर ${(1 + \sin (x))}^{2}$ को ${(1 + \sin (x))}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.11.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 3}}$

चरण 12.4.11.2

$2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.6

$- 4 \sin^{2} (x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.7

$- 4 \cos^{2} (x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.8

$- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.9

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.10

$- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.10.1

$- 4 \sin (x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.10.2

$- 4 \cdot 1$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.10.3

$- 4 (\sin (x)) - 4 (1)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.11

$\sin (x) + 1$ और ${(1 + \sin (x))}^{5}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.11.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.11.2

$\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))$ में से $1 + \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

चरण 12.11.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.11.3.1

${(1 + \sin (x))}^{5}$ में से $1 + \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

चरण 12.11.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

चरण 12.11.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

चरण 12.12

$- 4$ को $\cos^{3} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 4 \cdot \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

चरण 12.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4 \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$