कैलकुलस उदाहरण

$H (t) = (t^{5 - 1}) e^{4 t - 3}$

चरण 1

$5$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d}{d t} [t^{4} e^{4 t - 3}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{4}$ और $g (t) = e^{4 t - 3}$ है.

$t^{4} \frac{d}{d t} [e^{4 t - 3}] + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 4 t - 3$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 t - 3$ के रूप में सेट करें.

$t^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t - 3]) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$t^{4} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t - 3]) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 t - 3$ से बदलें.

$t^{4} (e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [4 t - 3]) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $4 t - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ है.

$t^{4} (e^{4 t - 3} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 + \frac{d}{d t} [- 3])) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$t^{4} (e^{4 t - 3} (4 + 0)) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.6.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$t^{4} (e^{4 t - 3} \cdot 4) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.6.2

$4$ को $e^{4 t - 3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t^{4} (4 \cdot e^{4 t - 3}) + e^{4 t - 3} \frac{d}{d t} [t^{4}]$

चरण 4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$t^{4} (4 e^{4 t - 3}) + e^{4 t - 3} (4 t^{3})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{4 t - 3} t^{4} + 4 e^{4 t - 3} t^{3}$

चरण 5.2

गुणनखंडों को $4 e^{4 t - 3} t^{4} + 4 e^{4 t - 3} t^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$4 t^{4} e^{4 t - 3} + 4 t^{3} e^{4 t - 3}$