कैलकुलस उदाहरण

$h (x) = (5 x^{- 2} - 10 x + 7) {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 5 x^{- 2} - 10 x + 7$ और $g (x) = {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$ है.

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{3} - 4 x + 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3} - 4 x + 5$ के रूप में सेट करें.

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} - 4 x + 5$ से बदलें.

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2$ को $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 4 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.4

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.6

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + 0) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.8

$3 x^{2} - 4$ और $0$ जोड़ें.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

चरण 3.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.10

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{- 2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.12

$- 2$ को $5$ से गुणा करें.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.13

चूंकि $- 10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 10 x$ का व्युत्पन्न $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.14

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.15

$- 10$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 3.16

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + 0)$

चरण 3.17

$- 10 x^{- 3} - 10$ और $0$ जोड़ें.

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

चरण 4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

चरण 5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 (5 \frac{1}{x^{2}}) + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$5$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$(2 \frac{5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2.2

$2$ और $\frac{5}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$(\frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2.3

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$(\frac{10}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2.4

$- 10$ को $2$ से गुणा करें.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2.5

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2.6

$- 10$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{- 10}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$

चरण 6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(3 x^{2} - 4) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$