कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 2.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 4.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 4.3

$2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 4.5

$- 10$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \tan (3 x)$ है.

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चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $\tan (3 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

चरण 5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\tan (3 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{4}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

चरण 6.2

$u_{4}$ के संबंध में $\tan (u_{4})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{4})$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

चरण 6.3

$u_{4}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

चरण 7

अवकलन करें.

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चरण 7.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 7.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.3

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1)$

चरण 7.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 7.4.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$

चरण 7.4.2

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)) \frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)}$