कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x + 2}))$

चरण 1

$\sqrt[3]{x + 2}$ को ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ से बदलें.

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

चरण 3

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ को $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ में बदलें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ से बदलें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $x + 2$ के रूप में सेट करें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 9.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 10.2

$\frac{1}{3}$ और ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 10.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

चरण 10.4

$\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ और $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को मिलाएं.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 10.5

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ और $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 13

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

चरण 14

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

चरण 14.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 15.2

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ और $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 15.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}})$

चरण 15.4

जोड़ना.

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

चरण 15.5

$\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

चरण 15.6

$3$ को $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 15.7

अलग-अलग भिन्न

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})})$

चरण 15.8

$\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ को $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ में बदलें.

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

चरण 15.9

$\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ और $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को मिलाएं.

$- \frac{\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$