कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\ln (\ln (x + 1)))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (\ln (x + 1))$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (\ln (x + 1))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x + 1))]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x + 1))]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (\ln (x + 1))$ से बदलें.

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x + 1))]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (x + 1)$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\ln (x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (x + 1)$ से बदलें.

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{\ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

चरण 3

$\frac{1}{\ln (x + 1)}$ को $\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 1$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.2

$u_{3}$ के संबंध में $\ln (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{3}}$ है.

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{x + 1}$ को $\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x + 1) (\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1)))} \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (1 + 0)$

चरण 5.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} \cdot 1$

चरण 5.5.2

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))}$

चरण 5.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1)) \ln (x + 1) (x + 1)}$