कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ से बदलें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))]$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

चरण 4

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \tan (5 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\tan (5 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

चरण 5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\tan (5 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

चरण 6

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (5 x)$ को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

चरण 7

$\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

चरण 8

$\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ को $\cot (5 x)$ में बदलें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

चरण 9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

चरण 9.2

$u_{3}$ के संबंध में $\tan (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{3})$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

चरण 9.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

चरण 10

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 10.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 10.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 10.3.1

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

चरण 10.3.2

$5$ को $\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + 5 \cdot (\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)))$

चरण 11

सरल करें.

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चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

चरण 11.2

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ को $\frac{2}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

चरण 11.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + 5 \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

चरण 11.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$5$ और $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

चरण 11.4.2

$\frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ और $\cot (5 x)$ को मिलाएं.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \sec^{2} (5 x)$

चरण 11.4.3

$\frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ और $\sec^{2} (5 x)$ को मिलाएं.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$

चरण 11.5

$\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{x}{x}$

चरण 11.6

$\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

चरण 11.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

चरण 11.8

गुणनखंडों को $\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 + 5 x \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{x (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))}$