कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{4} (\cos (x) + \sin (x)))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ है.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)] + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

चरण 3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (x) + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

चरण 6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) (4 x^{3}))$

चरण 6.2

$4$ को $\cos (x) + \sin (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 \cdot (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + (4 \cos (x) + 4 \sin (x)) x^{3})$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$

चरण 7.5

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)}$

चरण 7.6

$x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$x^{4} \cos (x)$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} \sin (x)}$

चरण 7.6.2

$x^{4} \sin (x)$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))}$

चरण 7.6.3

$x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.7

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(- x^{4} \sin (x) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x^{4} \sin (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.1

$x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.1.1

$- x^{4} \sin (x)$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$x^{4} (- \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 7.9.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.2

$\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.3

$x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.3.1

$x^{4} \cos (x)$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} (\cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 7.9.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.4

$\cos (x)$ और $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.5

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.5.1

$4 \cos (x) x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.5.2

$x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.6

$\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ और $4$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \cos (x) + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.7

$\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ और $\cos (x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.8

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.9.8.1

$4 \sin (x) x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.8.2

$x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

चरण 7.9.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

चरण 7.9.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.9.9

$\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ और $4$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \sin (x)$

चरण 7.9.10

$\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.11

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.12

प्रत्येक व्यंजक को $(\cos (x) + \sin (x)) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.1

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{(\cos (x) + \sin (x)) x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.12.2

$(\cos (x) + \sin (x)) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.14

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.15

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.16

$- \sin (x) x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x) + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.17

$\cos (x) x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.18

$- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.19

$4 \cos (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.20

$- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.21

$4 \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.22

$- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.23

$- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ को $- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.24

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

चरण 7.25

गुणनखंडों को $- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{x \sin (x) - x \cos (x) - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$