कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$x^{3}$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \ln (e)] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

चरण 2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cdot 1] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

चरण 2.3

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \ln (x - 1)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ है.

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x - 1$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))$

चरण 3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)$

चरण 3.7

$\frac{1}{x - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 \frac{1}{x - 1}$

चरण 3.8

$6$ और $\frac{1}{x - 1}$ को मिलाएं.

$3 x^{2} + \frac{6}{x - 1}$

चरण 4

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.1

$3 x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x - 1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}$

चरण 4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) + 6}{x - 1}$