कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

चरण 1

$\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ को ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $(6 x - 2) (7 x + 4)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $(6 x - 2) (7 x + 4)$ से बदलें.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

चरण 11

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 12

घातांक जोड़कर ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ को ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 12.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 12.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 12.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 13

$2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

चरण 14

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 6 x - 2$ और $g (x) = 7 x + 4$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.2

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.5

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.1

$7$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.6.2

$7$ को $6 x - 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

चरण 15.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

चरण 15.8

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

चरण 15.9

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

चरण 15.10

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

चरण 15.11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

चरण 15.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.12.1

$6$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

चरण 15.12.2

$6$ को $7 x + 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

चरण 16.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

चरण 16.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

चरण 16.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

चरण 16.4.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

चरण 16.4.3

$6$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

चरण 16.4.4

$7$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

चरण 16.4.5

$7$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

चरण 16.4.6

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

चरण 16.4.7

$42 x$ और $42 x$ जोड़ें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

चरण 16.4.8

$- 14$ और $24$ जोड़ें.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

चरण 16.5

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

चरण 16.6

$12 x - 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.6.1

$12 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

चरण 16.6.2

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

चरण 16.6.3

$4 (3 x) + 4 (- 1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

चरण 16.7

$84 x + 10$ को $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ से गुणा करें.

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

चरण 16.8

$84 x + 10$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.8.1

$84 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

चरण 16.8.2

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

चरण 16.8.3

$2 (42 x) + 2 (5)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

चरण 16.8.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.8.4.1

$4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

चरण 16.8.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

चरण 16.8.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$