कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\sqrt{1 + \sin^{2} (x)})$

चरण 1

$\sqrt{1 + \sin^{2} (x)}$ को ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 + \sin^{2} (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $1 + \sin^{2} (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + \sin^{2} (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

चरण 11

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 12

घातांक जोड़कर ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ को ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 ({(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 12.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 12.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 12.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 13

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

चरण 13.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ है.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 13.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 13.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 14

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 14.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 14.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 15

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2$ और $\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 15.2

$\sin (x)$ और $\frac{2}{2 (1 + \sin^{2} (x))}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 15.3

$2$ को $\sin (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot \sin (x)}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 15.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sin (x)}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 15.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 16

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} \cos (x)$

चरण 17

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$ और $\cos (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

चरण 17.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$