कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (x^{4}) (\frac{x}{x + 6})$

चरण 1

$\cos (x^{4})$ और $\frac{x}{x + 6}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x^{4}) x}{x + 6}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x^{4}) x$ और $g (x) = x + 6$ है.

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [\cos (x^{4}) x] - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x^{4})$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 4.2

$\cos (x^{4})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = x^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{4}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 5.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4}$ से बदलें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) (4 x^{3}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 6.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- 4 \sin (x^{4}) x^{3})) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3} x^{1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3 + 1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 9

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 11

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 12

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 13.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4}))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x (x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.3.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1.3.2.1

$x^{4}$ ले जाएं.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.3.2.2

$x^{4}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x^{1}) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.3.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{4 + 1} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.3.2.3

$4$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.1.3.3

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.2

$x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.2.1

गुणनखंडों को $x \cos (x^{4})$ और $- \cos (x^{4}) x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - x \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.2.2

$x \cos (x^{4})$ में से $x \cos (x^{4})$ घटाएं.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 0}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.1.2.3

$- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.3

$- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 4 x^{5} \sin (x^{4})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.3.2

$- 24 x^{4} \sin (x^{4})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.3.3

$6 \cos (x^{4})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.3.4

$2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4}))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.3.5

$2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.4

$- 2 x^{5} \sin (x^{4})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.5

$- 12 x^{4} \sin (x^{4})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.6

$- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4}))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.7

$3 \cos (x^{4})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.8

$- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4}))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.9

$- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ को $- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

चरण 14.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$