कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (\tan (\sqrt{x}))$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (\tan (x^{\frac{1}{2}}))]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \tan (x^{\frac{1}{2}})$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ से बदलें.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\tan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{2})$ है.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 10

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 11

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 12

$\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})))}{2}$

चरण 13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ को फिर से लिखें.

$- \frac{{(\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{2} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ पर लागू करें.

$- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ और $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 14.4

जोड़ना.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \cdot 1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.5

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 14.6

$2$ को $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot \cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.7

$\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ में से $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.8

अलग-अलग भिन्न

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})$

चरण 14.9

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ को फिर से लिखें.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

चरण 14.10

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

चरण 14.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.11.1

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

चरण 14.11.2

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ को $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ में बदलें.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

चरण 14.12

अलग-अलग भिन्न

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

चरण 14.13

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ को $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ में बदलें.

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

चरण 14.14

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ और $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$- (\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

चरण 14.15

$\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.15.1

$\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ और $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}))$

चरण 14.15.2

$\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ और $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.15.3

$\sec (x^{\frac{1}{2}})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.15.4

$\sec (x^{\frac{1}{2}})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.15.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14.15.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$