कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

चरण 2

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

चरण 3

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = e^{x} + 1$ है.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 5

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 7

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 8

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 8.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 9

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 9.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 9.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 10

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ को $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 11

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ में से $e^{x} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

चरण 11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

चरण 11.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.1

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.3.1.1.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.3.1.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.3.2

$e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.3.2.2

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.4.1.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

चरण 12.4.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

चरण 12.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$e^{2 x}$ को ${(e^{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

चरण 12.5.2

मान लीजिए $u = e^{x}$ . $e^{x}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

चरण 12.5.3

$u^{2} + u$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.3.1

$u^{2}$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

चरण 12.5.3.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

चरण 12.5.3.3

$u^{1}$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

चरण 12.5.3.4

$u \cdot u + u \cdot 1$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

चरण 12.5.4

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x}$ से बदलें.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

चरण 12.6

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

चरण 12.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$