कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ है, जहाँ $f (n) = n$ और $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ है.

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ $f' (g (n)) g' (n)$ है, जहाँ $f (n) = \ln (n)$ और $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + \frac{x}{n}$ के रूप में सेट करें.

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \frac{x}{n}$ से बदलें.

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ और $n$ को मिलाएं.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $n$ के संबंध में $1 + \frac{x}{n}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ है.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.3

चूंकि $n$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $n$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.4

$0$ और $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ जोड़ें.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.5

चूंकि $x$ , $n$ के संबंध में स्थिर है, $n$ के संबंध में $\frac{x}{n}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ है.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x$ और $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ को मिलाएं.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.6.2

$\frac{1}{n}$ को $n^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ $n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 3.8

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ और $n^{- 2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 4

घातांक जोड़कर $n$ को $n^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$n^{- 2}$ ले जाएं.

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 4.2

$n^{- 2}$ को $n$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$n$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 4.3

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $n^{- 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

चरण 6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ $n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

चरण 7

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

चरण 8

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ से गुणा करें.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

चरण 9

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ और $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ को मिलाएं.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

चरण 10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1.1

$n$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.3.1.1.2

$n$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.3.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.3.2

गुणनखंडों को $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$n$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

चरण 11.4.2

$\frac{x}{n}$ और $n$ को मिलाएं.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

चरण 11.4.3

$n$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

चरण 11.4.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

चरण 11.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

चरण 11.6.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

चरण 11.6.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

चरण 11.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$