कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x {(x - 4)}^{3} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.6

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.7

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.8

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.9

${(x - 4)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

चरण 4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

चरण 4.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

चरण 4.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

चरण 4.3.2.2

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

चरण 4.3.2.3

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

चरण 4.3.2.4

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

चरण 4.3.3

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

चरण 4.3.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

चरण 4.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

चरण 4.3.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

चरण 4.3.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

चरण 4.3.5.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

चरण 4.3.5.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

चरण 4.3.5.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

चरण 4.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

चरण 4.3.7.1.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

चरण 4.3.7.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

चरण 4.3.7.1.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

चरण 4.3.7.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

चरण 4.3.7.3

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

चरण 4.3.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.8.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.8.1.1

$x$ ले जाएं.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

चरण 4.3.8.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

चरण 4.3.8.2

$3$ को $- 8$ से गुणा करें.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

चरण 4.4

$x^{3}$ और $3 x^{3}$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

चरण 4.5

$- 12 x^{2}$ में से $24 x^{2}$ घटाएं.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

चरण 4.6

$48 x$ और $48 x$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$