कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \cos (2 x) + \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.7

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.1.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$2 \sin (2 x) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot 2$

चरण 1.3.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$f'' (x) = 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.4

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.7

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.3.7

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) = 0$

चरण 4

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (2 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

चरण 5

अलग-अलग भिन्न

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

चरण 6

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ को $\tan (2 x)$ में बदलें.

$\frac{2}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

चरण 7

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

चरण 8

$\cos (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

चरण 8.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

चरण 9

अलग-अलग भिन्न

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

चरण 10

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ को $\sec (2 x)$ में बदलें.

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

चरण 11

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \tan (2 x) + 2 = 0 \sec (2 x)$

चरण 12

$0$ को $\sec (2 x)$ से गुणा करें.

$2 \tan (2 x) + 2 = 0$

चरण 13

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$2 \tan (2 x) = - 2$

चरण 14

$2 \tan (2 x) = - 2$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$2 \tan (2 x) = - 2$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

चरण 14.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

चरण 14.2.1.2

$\tan (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{2}$

चरण 14.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\tan (2 x) = - 1$

चरण 15

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$2 x = \arctan (- 1)$

चरण 16

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$2 x = - \frac{π}{4}$

चरण 17

$2 x = - \frac{π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$2 x = - \frac{π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

चरण 17.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

चरण 17.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

चरण 17.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 17.3.2

$- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{π}{4}$ से गुणा करें.

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

चरण 17.3.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x = - \frac{π}{8}$

चरण 18

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

चरण 19

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$2 π$ को $- \frac{π}{4} - π$ में जोड़ें.

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

चरण 19.2

$\frac{3 π}{4}$ का परिणामी कोण $- \frac{π}{4} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$2 x = \frac{3 π}{4}$

चरण 19.3

$2 x = \frac{3 π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.1

$2 x = \frac{3 π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

चरण 19.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

चरण 19.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

चरण 19.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 19.3.3.2

$\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.3.2.1

$\frac{3 π}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

चरण 19.3.3.2.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{8}$

चरण 20

समीकरण का हल $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

चरण 21

$x = - \frac{π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \cos (2 (- \frac{π}{8})) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.1.1

$- \frac{π}{8}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \cos (2 \frac{- π}{8}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.1.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \cos (\frac{- π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \cos (- \frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.3

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$4 \cos (\frac{7 π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$4 \cos (\frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.6.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 22.1.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.7.1

$- \frac{π}{8}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{8})$

चरण 22.1.7.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 (4)})$

चरण 22.1.7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 4})$

चरण 22.1.7.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{- π}{4})$

चरण 22.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (- \frac{π}{4})$

चरण 22.1.9

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{7 π}{4})$

चरण 22.1.10

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \sin (\frac{π}{4}))$

चरण 22.1.11

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 22.1.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.12.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

चरण 22.1.12.2

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

चरण 22.1.12.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

चरण 22.1.12.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

चरण 22.1.13

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

चरण 22.2

$2 \sqrt{2}$ और $2 \sqrt{2}$ जोड़ें.

$4 \sqrt{2}$

चरण 23

$x = - \frac{π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - \frac{π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 24

$x = - \frac{π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{π}{8}$ से बदलें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (- \frac{π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.1.1.1

$- \frac{π}{8}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.1.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 (4)})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{- π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.3

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.4

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

चरण 24.2.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.1.6.1

$- \frac{π}{8}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{8}))$

चरण 24.2.1.6.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 (4)}))$

चरण 24.2.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4}))$

चरण 24.2.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{- π}{4})$

चरण 24.2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4})$

चरण 24.2.1.8

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4})$

चरण 24.2.1.9

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})$

चरण 24.2.1.10

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 24.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

चरण 24.2.2.2

$- \sqrt{2}$ में से $\sqrt{2}$ घटाएं.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 24.2.2.3

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.2.3.1

$- 2 \sqrt{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

चरण 24.2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

चरण 24.2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

चरण 24.2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

चरण 24.2.2.3.2.4

$- \sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (- \frac{π}{8}) = - \sqrt{2}$

चरण 24.2.3

अंतिम उत्तर $- \sqrt{2}$ है.

$y = - \sqrt{2}$

चरण 25

$x = \frac{3 π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \cos (2 (\frac{3 π}{8})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \cos (\frac{3 π}{4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$4 (- \cos (\frac{π}{4})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.4.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (- \sqrt{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 26.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.6.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)})$

चरण 26.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4})$

चरण 26.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{3 π}{4})$

चरण 26.1.7

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{π}{4})$

चरण 26.1.8

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 26.1.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.9.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 26.1.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 26.1.9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

चरण 26.2

$- 2 \sqrt{2}$ में से $2 \sqrt{2}$ घटाएं.

$- 4 \sqrt{2}$

चरण 27

$x = \frac{3 π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{3 π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 28

$x = \frac{3 π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{8})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 (4)})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.2

$f (\frac{3 π}{8}) = \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.4

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.4.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 28.2.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1.5.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)}))$

चरण 28.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4}))$

चरण 28.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4})$

चरण 28.2.1.6

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

चरण 28.2.1.7

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 28.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

चरण 28.2.2.2

$\sqrt{2}$ और $\sqrt{2}$ जोड़ें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 28.2.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 28.2.2.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = \sqrt{2}$

चरण 28.2.3

अंतिम उत्तर $\sqrt{2}$ है.

$y = \sqrt{2}$

चरण 29

ये $f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- \frac{π}{8}, - \sqrt{2})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(\frac{3 π}{8}, \sqrt{2})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 30