कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a x - 3 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 1.2.3

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 1.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.4

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 1.3.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$a - 3 (1 + \ln (x))$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

चरण 1.4.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$a - 3 - 3 \ln (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a - 3 - 3 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

चरण 2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

चरण 2.2.3

$- 3$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

चरण 2.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

चरण 2.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

चरण 2.3.2

$0$ में से $\frac{3}{x}$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 4.1.2.2

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 4.1.2.3

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 4.1.3.2

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.4

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 4.1.3.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$a - 3 (1 + \ln (x))$

चरण 4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

चरण 4.1.4.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $a - 3 - 3 \ln (x)$ है.

$a - 3 - 3 \ln (x)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

चरण 5.2

$\ln (x)$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $a$ घटाएं.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

चरण 5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

चरण 5.3

$- 3 \ln (x) = - a + 3$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 3 \ln (x) = - a + 3$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

चरण 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

चरण 5.3.3.1.2

$3$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

चरण 5.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

चरण 5.6

समीकरण को $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

चरण 8

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

चरण 9

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

चरण 9.2

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

चरण 9.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

चरण 9.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

चरण 10

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 11