कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (x) + 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

चरण 4

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 5

अलग-अलग भिन्न

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 7

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 8

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 8.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 9

अलग-अलग भिन्न

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 11

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

चरण 12

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$- \tan (x) + 2 = 0$

चरण 13

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- \tan (x) = - 2$

चरण 14

$- \tan (x) = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$- \tan (x) = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 14.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 14.2.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 14.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = 2$

चरण 15

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (2)$

चरण 16

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\arctan (2)$ का मान ज्ञात करें.

$x = 1.10714871$

चरण 17

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

चरण 18

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

चरण 18.2

कोष्ठक हटा दें.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

चरण 18.3

$3.14159265$ और $1.10714871$ जोड़ें.

$x = 4.24874137$

चरण 19

समीकरण का हल $x = 1.10714871$ .

$x = 1.10714871, 4.24874137$

चरण 20

$x = 1.10714871$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

चरण 21

$x = 1.10714871$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1.10714871$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 22

$x = 1.10714871$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.10714871$ से बदलें.

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

चरण 22.2

अंतिम उत्तर $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ है.

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

चरण 23

$x = 4.24874137$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

चरण 24

$x = 4.24874137$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 4.24874137$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 25

$x = 4.24874137$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.24874137$ से बदलें.

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

चरण 25.2

अंतिम उत्तर $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ है.

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

चरण 26

ये $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 27