कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x + 8 \cos (8 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

चरण 1.2.3

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \cos (8 x)$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ है.

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 8 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 x$ के रूप में सेट करें.

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

चरण 1.3.3

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.3.4

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

चरण 1.3.5

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

चरण 1.3.6

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

चरण 1.3.7

$- 8$ को $8$ से गुणा करें.

$8 - 64 \sin (8 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 - 64 \sin (8 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 64 \sin (8 x)$ का व्युत्पन्न $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ है.

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 8 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

चरण 2.2.3

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.2.4

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

चरण 2.2.5

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

चरण 2.2.6

$8$ को $\cos (8 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

चरण 2.2.7

$8$ को $- 64$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

चरण 2.3

$0$ में से $512 \cos (8 x)$ घटाएं.

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

चरण 5

$- 64 \sin (8 x) = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 64$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 64 \sin (8 x) = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 64$ से विभाजित करें.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

चरण 5.2.1.2

$\sin (8 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 8$ और $- 64$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$- 8$ में से $- 8$ का गुणनखंड करें.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

चरण 5.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

$- 64$ में से $- 8$ का गुणनखंड करें.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

चरण 5.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

चरण 5.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

चरण 6

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

चरण 7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\arcsin (\frac{1}{8})$ का मान ज्ञात करें.

$8 x = 0.12532783$

चरण 8

$8 x = 0.12532783$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$8 x = 0.12532783$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0.12532783}{8}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$0.12532783$ को $8$ से विभाजित करें.

$x = 0.01566597$

चरण 9

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

चरण 10

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$3.14159265$ में से $0.12532783$ घटाएं.

$8 x = 3.01626482$

चरण 10.2

$8 x = 3.01626482$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$8 x = 3.01626482$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

चरण 10.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

चरण 10.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{3.01626482}{8}$

चरण 10.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$3.01626482$ को $8$ से विभाजित करें.

$x = 0.3770331$

चरण 11

समीकरण का हल $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

चरण 12

$x = 0.01566597$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

चरण 13

$8$ को $0.01566597$ से गुणा करें.

$- 512 \cos (0.12532783)$

चरण 14

$x = 0.01566597$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0.01566597$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = 0.01566597$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.01566597$ से बदलें.

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$8$ को $0.01566597$ से गुणा करें.

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

चरण 15.2.1.2

$8$ को $0.01566597$ से गुणा करें.

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

चरण 15.2.2

$0.12532783$ और $8 \cos (0.12532783)$ जोड़ें.

$f (0.01566597) = 8.06258176$

चरण 15.2.3

अंतिम उत्तर $8.06258176$ है.

$y = 8.06258176$

चरण 16

$x = 0.3770331$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

चरण 17

$8$ को $0.3770331$ से गुणा करें.

$- 512 \cos (3.01626482)$

चरण 18

$x = 0.3770331$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0.3770331$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 19

$x = 0.3770331$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.3770331$ से बदलें.

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

चरण 19.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.1

$8$ को $0.3770331$ से गुणा करें.

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

चरण 19.2.1.2

$8$ को $0.3770331$ से गुणा करें.

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

चरण 19.2.2

$3.01626482$ और $8 \cos (3.01626482)$ जोड़ें.

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

चरण 19.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.92098911$ है.

$y = - 4.92098911$

चरण 20

ये $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0.01566597, 8.06258176)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(0.3770331, - 4.92098911)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 21