कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ से बदलें.

$2 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

चरण 2

$2$ और $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

चरण 3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 1 - \sin (x)$ है.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ है.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ जोड़ें.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 5.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 5.5

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 5.5.2

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 7

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 8

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 11

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$ को $\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{(1 - \sin (x)) {(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 12

घातांक जोड़कर $1 - \sin (x)$ को ${(1 - \sin (x))}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$1 - \sin (x)$ को ${(1 - \sin (x))}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$1 - \sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1} {(1 - \sin (x))}^{2}}$

चरण 12.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1 + 2}}$

चरण 12.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$2 \cos (x)$ और $1 (- \sin (x))$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1 (- \sin (x)) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.2

कोष्ठक ले जाएँ.

$\frac{1 (- \sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.3

कोष्ठक लगाएं.

$\frac{1 (- (\sin (x) (2 \cos (x)))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.4

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1 (- (2 \cdot \sin (x) \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.5

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{1 (- \sin (2 x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.6

$- \sin (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.7

कोष्ठक ले जाएँ.

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.8

$2 \cos (x)$ और $- \sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (x) (2 \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.9

कोष्ठक लगाएं.

$\frac{- \sin (2 x) - (\sin (x) (2 \cos (x))) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.10

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- \sin (2 x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.11

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.12

$- \sin (2 x) (- \sin (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.12.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sin (2 x) + 1 \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.12.2

$\sin (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.13

घातांक जोड़कर $\cos (x)$ को $\cos^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.13.1

$\cos^{2} (x)$ ले जाएं.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.13.2

$\cos^{2} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.13.2.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.13.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 {\cos (x)}^{2 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.3.13.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

चरण 13.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \sin (2 x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$