कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (x) - x$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (x) - 1$

चरण 1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 1 + \cos (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 1 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

चरण 2.3

$0$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$f'' (x) = - \sin (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 1 + \cos (x) = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 1$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (1)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 7

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - 0$

चरण 8

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 9

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

चरण 10

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \sin (0)$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 0$

चरण 11.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 12

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

चरण 12.2

पहले व्युत्पन्न $- 1 + \cos (x)$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

चरण 12.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

$\cos (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

चरण 12.2.2.2

$- 1$ में से $0.41614683$ घटाएं.

$f' (- 2) = - 1.41614683$

चरण 12.2.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.41614683$ है.

$- 1.41614683$

चरण 12.3

पहले व्युत्पन्न $- 1 + \cos (x)$ में अंतराल $(0, 2 π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

चरण 12.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$\cos (3)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

चरण 12.3.2.2

$- 1$ में से $0.98999249$ घटाएं.

$f' (3) = - 1.98999249$

चरण 12.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.98999249$ है.

$- 1.98999249$

चरण 12.4

पहले व्युत्पन्न $- 1 + \cos (x)$ में अंतराल $(2 π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $9$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

चरण 12.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1

$\cos (9)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

चरण 12.4.2.2

$- 1$ में से $0.91113026$ घटाएं.

$f' (9) = - 1.91113026$

चरण 12.4.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.91113026$ है.

$- 1.91113026$

चरण 12.5

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = 0$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 12.6

$f (x) = \sin (x) - x$ के लिए कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं मिला.

कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं है

चरण 13