कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \cos^{3} (x)$ है.

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3

$3$ को $\sin (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot \sin (x) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.5

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.6

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.7

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.10

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)$

चरण 1.11

घातांक जोड़कर $\cos^{3} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.1

$\cos^{3} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.1.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)$

चरण 1.11.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}$

चरण 1.11.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

चरण 1.12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos^{2} (x)$ और $g (x) = \sin^{2} (x)$ है.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.6

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.7

घातांक जोड़कर $\cos^{2} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

$\cos (x)$ ले जाएं.

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.7.2

$\cos (x)$ को $\cos^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.2.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.7.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 3 ({\cos (x)}^{1 + 2} (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.7.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 3 (\cos^{3} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.8

$2$ को $\cos^{3} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = - 3 (2 \cdot (\cos^{3} (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.9

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.10

घातांक जोड़कर $\sin^{2} (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.1

$\sin (x)$ ले जाएं.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.10.2

$\sin (x)$ को $\sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.10.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.2.10.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.3.1.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

चरण 2.4.2.2

$- 2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 (\sin^{3} (x) (\cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

चरण 2.4.2.3

$- 6 \cos^{3} (x) \sin (x)$ में से $4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ घटाएं.

$f'' (x) = - 10 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) = 0$

चरण 4

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में से $\cos^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ में से $\cos^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{4} (x) = 0$

चरण 4.2

$\cos^{4} (x)$ में से $\cos^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

चरण 4.3

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)$ में से $\cos^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

चरण 6

$\cos^{2} (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cos^{2} (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos^{2} (x) = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए $\cos^{2} (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

चरण 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\cos (x) = \pm 0$

चरण 6.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$\cos (x) = 0$

चरण 6.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

चरण 6.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 6.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 6.2.6

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 6.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 6.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 6.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.6.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 6.2.6.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 6.2.7

समीकरण का हल $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

चरण 7

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 3 \sin^{2} (x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ से बदलें.

$- 3 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

चरण 7.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

चरण 7.2.2.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

चरण 7.2.2.3

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 3 + 3 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

चरण 7.2.3

$3 \cos^{2} (x)$ और $\cos^{2} (x)$ जोड़ें.

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

चरण 7.2.4

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

चरण 7.2.5

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

चरण 7.2.6

$4 \cos^{2} (x) = 3$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

$4 \cos^{2} (x) = 3$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

चरण 7.2.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

चरण 7.2.6.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

चरण 7.2.7

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

चरण 7.2.8

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.8.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

चरण 7.2.8.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.8.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

चरण 7.2.8.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 7.2.9

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.9.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 7.2.9.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 7.2.9.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 7.2.10

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 7.2.11

$x$ के लिए $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.11.1

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 7.2.11.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.11.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 7.2.11.3

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

चरण 7.2.11.4

$2 π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.11.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 7.2.11.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.11.4.2.1

$2 π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 7.2.11.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 7.2.11.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.11.4.3.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{12 π - π}{6}$

चरण 7.2.11.4.3.2

$12 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{11 π}{6}$

चरण 7.2.11.5

समीकरण का हल $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

चरण 7.2.12

$x$ के लिए $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.12.1

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 7.2.12.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.12.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ का सटीक मान $\frac{5 π}{6}$ है.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 7.2.12.3

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

चरण 7.2.12.4

$2 π - \frac{5 π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.12.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

चरण 7.2.12.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.12.4.2.1

$2 π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

चरण 7.2.12.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

चरण 7.2.12.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.12.4.3.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

चरण 7.2.12.4.3.2

$12 π$ में से $5 π$ घटाएं.

$x = \frac{7 π}{6}$

चरण 7.2.12.5

समीकरण का हल $x = \frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

चरण 7.2.13

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

चरण 8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

चरण 9

$x = \frac{π}{2}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 10 \cos^{3} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$- 10 \cdot 0^{3} \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- 10 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.3

$- 10$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 \cdot 1 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.5

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 6 \cdot 1^{3} \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$0 + 6 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.8

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

चरण 10.1.9

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$0 + 6 \cdot 0$

चरण 10.1.10

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0$

चरण 10.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 11

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \infty)$

चरण 11.2

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(- \infty, \frac{π}{6})$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = - 3 \cos^{2} (0) \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f' (0) = - 3 \cdot (1^{2} \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (0) = - 3 \cdot (1 \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2.1.3

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = - 3 \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f' (0) = - 3 \cdot 0^{2} + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2.1.5

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2.1.6

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + \cos^{4} (0)$

चरण 11.2.2.1.7

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f' (0) = 0 + 1^{4}$

चरण 11.2.2.1.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (0) = 0 + 1$

चरण 11.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = 1$

चरण 11.2.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 11.3

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ से कोई भी संख्या, जैसे $1$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - 3 \cos^{2} (1) \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1.1

$\cos (1)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (1) = - 3 \cdot ({0.5403023}^{2} \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2.1.2

$0.5403023$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - 3 \cdot (0.29192658 \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2.1.3

$- 3$ को $0.29192658$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 0.87577974 \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2.1.4

$\sin (1)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot {0.84147098}^{2} + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2.1.5

$0.84147098$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot 0.70807341 + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2.1.6

$- 0.87577974$ को $0.70807341$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 0.62011635 + \cos^{4} (1)$

चरण 11.3.2.1.7

$\cos (1)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (1) = - 0.62011635 + {0.5403023}^{4}$

चरण 11.3.2.1.8

$0.5403023$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - 0.62011635 + 0.08522112$

चरण 11.3.2.2

$- 0.62011635$ और $0.08522112$ जोड़ें.

$f' (1) = - 0.53489522$

चरण 11.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.53489522$ है.

$- 0.53489522$

चरण 11.4

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - 3 \cos^{2} (2) \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1.1

$\cos (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 3 {(- 0.41614683)}^{2} \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2.1.2

$- 0.41614683$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - 3 \cdot (0.17317818 \sin^{2} (2)) + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2.1.3

$- 3$ को $0.17317818$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 0.51953456 \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2.1.4

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot {0.90929742}^{2} + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2.1.5

$0.90929742$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot 0.82682181 + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2.1.6

$- 0.51953456$ को $0.82682181$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 0.42956251 + \cos^{4} (2)$

चरण 11.4.2.1.7

$\cos (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 0.42956251 + {(- 0.41614683)}^{4}$

चरण 11.4.2.1.8

$- 0.41614683$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - 0.42956251 + 0.02999068$

चरण 11.4.2.2

$- 0.42956251$ और $0.02999068$ जोड़ें.

$f' (2) = - 0.39957182$

चरण 11.4.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.39957182$ है.

$- 0.39957182$

चरण 11.5

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6})$ से कोई भी संख्या, जैसे $3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - 3 \cos^{2} (3) \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1.1

$\cos (3)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (3) = - 3 {(- 0.98999249)}^{2} \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2.1.2

$- 0.98999249$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - 3 \cdot (0.98008514 \sin^{2} (3)) + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2.1.3

$- 3$ को $0.98008514$ से गुणा करें.

$f' (3) = - 2.94025542 \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2.1.4

$\sin (3)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot {0.14112}^{2} + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2.1.5

$0.14112$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot 0.01991485 + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2.1.6

$- 2.94025542$ को $0.01991485$ से गुणा करें.

$f' (3) = - 0.05855476 + \cos^{4} (3)$

चरण 11.5.2.1.7

$\cos (3)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (3) = - 0.05855476 + {(- 0.98999249)}^{4}$

चरण 11.5.2.1.8

$- 0.98999249$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - 0.05855476 + 0.96056688$

चरण 11.5.2.2

$- 0.05855476$ और $0.96056688$ जोड़ें.

$f' (3) = 0.90201212$

चरण 11.5.2.3

अंतिम उत्तर $0.90201212$ है.

$0.90201212$

चरण 11.6

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ से कोई भी संख्या, जैसे $4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = - 3 \cos^{2} (4) \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.2.1.1

$\cos (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = - 3 {(- 0.65364362)}^{2} \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2.1.2

$- 0.65364362$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = - 3 \cdot (0.42724998 \sin^{2} (4)) + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2.1.3

$- 3$ को $0.42724998$ से गुणा करें.

$f' (4) = - 1.28174994 \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2.1.4

$\sin (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = - 1.28174994 {(- 0.75680249)}^{2} + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2.1.5

$- 0.75680249$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = - 1.28174994 \cdot 0.57275001 + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2.1.6

$- 1.28174994$ को $0.57275001$ से गुणा करें.

$f' (4) = - 0.7341223 + \cos^{4} (4)$

चरण 11.6.2.1.7

$\cos (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = - 0.7341223 + {(- 0.65364362)}^{4}$

चरण 11.6.2.1.8

$- 0.65364362$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = - 0.7341223 + 0.18254254$

चरण 11.6.2.2

$- 0.7341223$ और $0.18254254$ जोड़ें.

$f' (4) = - 0.55157975$

चरण 11.6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.55157975$ है.

$- 0.55157975$

चरण 11.7

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ से कोई भी संख्या, जैसे $5$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = - 3 \cos^{2} (5) \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.2.1.1

$\cos (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = - 3 \cdot ({0.28366218}^{2} \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2.1.2

$0.28366218$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 3 \cdot (0.08046423 \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2.1.3

$- 3$ को $0.08046423$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 0.2413927 \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2.1.4

$\sin (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = - 0.2413927 {(- 0.95892427)}^{2} + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2.1.5

$- 0.95892427$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 0.2413927 \cdot 0.91953576 + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2.1.6

$- 0.2413927$ को $0.91953576$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 0.22196922 + \cos^{4} (5)$

चरण 11.7.2.1.7

$\cos (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = - 0.22196922 + {0.28366218}^{4}$

चरण 11.7.2.1.8

$0.28366218$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 0.22196922 + 0.00647449$

चरण 11.7.2.2

$- 0.22196922$ और $0.00647449$ जोड़ें.

$f' (5) = - 0.21549473$

चरण 11.7.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.21549473$ है.

$- 0.21549473$

चरण 11.8

पहले व्युत्पन्न $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ में अंतराल $(\frac{11 π}{6}, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $8$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f' (8) = - 3 \cos^{2} (8) \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.2.1.1

$\cos (8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (8) = - 3 {(- 0.14550003)}^{2} \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2.1.2

$- 0.14550003$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (8) = - 3 \cdot (0.02117025 \sin^{2} (8)) + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2.1.3

$- 3$ को $0.02117025$ से गुणा करें.

$f' (8) = - 0.06351077 \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2.1.4

$\sin (8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot {0.98935824}^{2} + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2.1.5

$0.98935824$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot 0.97882974 + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2.1.6

$- 0.06351077$ को $0.97882974$ से गुणा करें.

$f' (8) = - 0.06216623 + \cos^{4} (8)$

चरण 11.8.2.1.7

$\cos (8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (8) = - 0.06216623 + {(- 0.14550003)}^{4}$

चरण 11.8.2.1.8

$- 0.14550003$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (8) = - 0.06216623 + 0.00044817$

चरण 11.8.2.2

$- 0.06216623$ और $0.00044817$ जोड़ें.

$f' (8) = - 0.06171805$

चरण 11.8.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.06171805$ है.

$- 0.06171805$

चरण 11.9

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = \frac{π}{6}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11.10

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = \frac{π}{2}$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 11.11

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = \frac{5 π}{6}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11.12

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = \frac{7 π}{6}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{7 π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{7 π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11.13

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = \frac{3 π}{2}$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 11.14

ये $f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{7 π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{7 π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 12