कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (2 x) + 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.2.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.4

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.2.7

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \sin (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$2 \cos (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

चरण 4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x) = 0$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

चरण 4.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

चरण 4.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

चरण 5

$4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$4 \cos^{2} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

चरण 5.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

चरण 5.1.3

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x) = 0$

चरण 5.1.4

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x)) = 0$

चरण 5.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1) = 0$

चरण 5.2.1.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 5.2.1.2.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 (2 \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) \cos (x) - 1) = 0$

चरण 5.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 5.2.1.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 5.2.1.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) - 1) + 1 (2 \cos (x) - 1)) = 0$

चरण 5.2.1.4

महत्तम समापवर्तक, $2 \cos (x) - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)) = 0$

चरण 5.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

चरण 6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

चरण 7

$2 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \cos (x) = 1$

चरण 7.2.2

$2 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 7.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 7.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

चरण 7.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 7.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 7.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 7.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

चरण 7.2.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{3}$

चरण 7.2.7

समीकरण का हल $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

चरण 8

$\cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) + 1 = 0$

चरण 8.2

$x$ के लिए $\cos (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\cos (x) = - 1$

चरण 8.2.2

$x = \arccos (- 1)$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 8.2.4

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 8.2.5

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 8.2.6

समीकरण का हल $x = π$ .

$x = π, π$

चरण 9

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, π$

चरण 10

$x = \frac{π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3})) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- 4 \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.4.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 11.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.6.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \sqrt{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 11.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \sqrt{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 11.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sqrt{3} - 1 \sqrt{3}$

चरण 11.1.7

$- 1 \sqrt{3}$ को $- \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

चरण 11.2

$- 2 \sqrt{3}$ में से $\sqrt{3}$ घटाएं.

$- 3 \sqrt{3}$

चरण 12

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 13

$x = \frac{π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (2 (\frac{π}{3})) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 13.2.1.2

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 13.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 13.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 13.2.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 13.2.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$

चरण 13.2.2

$\sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 13.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.3.1

$\sqrt{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

चरण 13.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

चरण 13.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.4.1

$2$ को $\sqrt{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.4.2

$\sqrt{3}$ और $2 \sqrt{3}$ जोड़ें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.5

अंतिम उत्तर $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ है.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 14

$x = \frac{5 π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4 \sin (2 (\frac{5 π}{3})) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$2 (\frac{5 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1.1

$2$ और $\frac{5 π}{3}$ को मिलाएं.

$- 4 \sin (\frac{2 (5 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.1.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (\frac{10 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3})) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.5.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.5.2

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 (- \sqrt{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.6

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \sqrt{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.7

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$2 \sqrt{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

चरण 15.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$2 \sqrt{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 15.1.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.9.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 \sqrt{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 15.1.9.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \sqrt{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 15.1.9.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 15.1.9.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \sqrt{3} - 1 (- \sqrt{3})$

चरण 15.1.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3}$

चरण 15.1.11

$\sqrt{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

चरण 15.2

$2 \sqrt{3}$ और $\sqrt{3}$ जोड़ें.

$3 \sqrt{3}$

चरण 16

$x = \frac{5 π}{3}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{5 π}{3}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 17

$x = \frac{5 π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5 π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (2 (\frac{5 π}{3})) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

$2 (\frac{5 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1.1

$2$ और $\frac{5 π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{2 (5 π)}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2.1.1.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2.1.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2.1.3

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

चरण 17.2.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 17.2.1.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.7.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

चरण 17.2.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

चरण 17.2.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

चरण 17.2.2

$- \sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 17.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.1

$- \sqrt{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

चरण 17.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

चरण 17.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.4.2

$- \sqrt{3}$ में से $2 \sqrt{3}$ घटाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ है.

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 18

$x = π$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4 \sin (2 (π)) - 2 \sin (π)$

चरण 19

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$- 4 \sin (0) - 2 \sin (π)$

चरण 19.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 4 \cdot 0 - 2 \sin (π)$

चरण 19.1.3

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - 2 \sin (π)$

चरण 19.1.4

$0 - 2 \sin (0)$

चरण 19.1.5

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$0 - 2 \cdot 0$

चरण 19.1.6

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0$

चरण 19.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 20

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, π) \cup (π, \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}, \infty)$

चरण 20.2

पहले व्युत्पन्न $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ में अंतराल $(- \infty, \frac{π}{3})$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = 2 \cos (2 (0)) + 2 \cos (0)$

चरण 20.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 2 \cos (0) + 2 \cos (0)$

चरण 20.2.2.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f' (0) = 2 \cdot 1 + 2 \cos (0)$

चरण 20.2.2.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = 2 + 2 \cos (0)$

चरण 20.2.2.1.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f' (0) = 2 + 2 \cdot 1$

चरण 20.2.2.1.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = 2 + 2$

चरण 20.2.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f' (0) = 4$

चरण 20.2.2.3

अंतिम उत्तर $4$ है.

$4$

चरण 20.3

पहले व्युत्पन्न $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ में अंतराल $(\frac{π}{3}, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 2 \cos (2 (2)) + 2 \cos (2)$

चरण 20.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.2.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 2 \cos (4) + 2 \cos (2)$

चरण 20.3.2.1.2

$\cos (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = 2 \cdot - 0.65364362 + 2 \cos (2)$

चरण 20.3.2.1.3

$2$ को $- 0.65364362$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.30728724 + 2 \cos (2)$

चरण 20.3.2.1.4

$\cos (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 1.30728724 + 2 \cdot - 0.41614683$

चरण 20.3.2.1.5

$2$ को $- 0.41614683$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.30728724 - 0.83229367$

चरण 20.3.2.2

$- 1.30728724$ में से $0.83229367$ घटाएं.

$f' (2) = - 2.13958091$

चरण 20.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 2.13958091$ है.

$- 2.13958091$

चरण 20.4

पहले व्युत्पन्न $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ में अंतराल $(π, \frac{5 π}{3})$ से कोई भी संख्या, जैसे $4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = 2 \cos (2 (4)) + 2 \cos (4)$

चरण 20.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.2.1.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (4) = 2 \cos (8) + 2 \cos (4)$

चरण 20.4.2.1.2

$\cos (8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = 2 \cdot - 0.14550003 + 2 \cos (4)$

चरण 20.4.2.1.3

$2$ को $- 0.14550003$ से गुणा करें.

$f' (4) = - 0.29100006 + 2 \cos (4)$

चरण 20.4.2.1.4

$\cos (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = - 0.29100006 + 2 \cdot - 0.65364362$

चरण 20.4.2.1.5

$2$ को $- 0.65364362$ से गुणा करें.

$f' (4) = - 0.29100006 - 1.30728724$

चरण 20.4.2.2

$- 0.29100006$ में से $1.30728724$ घटाएं.

$f' (4) = - 1.5982873$

चरण 20.4.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.5982873$ है.

$- 1.5982873$

चरण 20.5

पहले व्युत्पन्न $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ में अंतराल $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $8$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f' (8) = 2 \cos (2 (8)) + 2 \cos (8)$

चरण 20.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.2.1.1

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$f' (8) = 2 \cos (16) + 2 \cos (8)$

चरण 20.5.2.1.2

$\cos (16)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (8) = 2 \cdot - 0.95765948 + 2 \cos (8)$

चरण 20.5.2.1.3

$2$ को $- 0.95765948$ से गुणा करें.

$f' (8) = - 1.91531896 + 2 \cos (8)$

चरण 20.5.2.1.4

$\cos (8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (8) = - 1.91531896 + 2 \cdot - 0.14550003$

चरण 20.5.2.1.5

$2$ को $- 0.14550003$ से गुणा करें.

$f' (8) = - 1.91531896 - 0.29100006$

चरण 20.5.2.2

$- 1.91531896$ में से $0.29100006$ घटाएं.

$f' (8) = - 2.20631902$

चरण 20.5.2.3

अंतिम उत्तर $- 2.20631902$ है.

$- 2.20631902$

चरण 20.6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = \frac{π}{3}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 20.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = π$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 20.8

ये $f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 21