कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \tan (x) - x$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\tan (x) - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\sec^{2} (x) - 1$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 1 + \sec^{2} (x)$

चरण 1.4.2

$- 1$ और $\sec^{2} (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sec^{2} (x) - 1$

चरण 1.4.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\tan^{2} (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\tan (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\tan (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

चरण 2.3

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\tan^{2} (x) = 0$

चरण 4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

चरण 5

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\tan (x) = \pm 0$

चरण 5.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$\tan (x) = 0$

चरण 6

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (0)$

चरण 7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 8

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = π + 0$

चरण 9

$π$ और $0$ जोड़ें.

$x = π$

चरण 10

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, π$

चरण 11

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

चरण 12.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

चरण 12.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \tan (0)$

चरण 12.4

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 \cdot 0$

चरण 12.5

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 13

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 14