कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\sqrt{x^{2} + x}$ को ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + x$ के रूप में सेट करें.

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

चरण 1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + x$ से बदलें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

चरण 1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.2.6

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

चरण 1.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 1.2.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 1.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 1.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 1.2.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

चरण 1.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

चरण 1.2.12

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

चरण 1.2.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

चरण 1.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [(2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + 1$ और $g (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.4

$\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ को ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.5.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.6.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + x$ से बदलें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.8

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.9

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

चरण 2.2.11

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

चरण 2.2.12

चरण 2.2.13

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

चरण 2.2.14

घातांक को ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.14.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.14.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.14.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.15

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.16

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.18

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.18.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.18.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.19

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.20

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.21

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.22

$\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ और ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x^{2} + x)}^{- 1}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.23

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x)} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.24

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ को $x^{2} + x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.24.1

$x^{2} + x$ ले जाएं.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 ((x^{2} + x) {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.24.2

$x^{2} + x$ को ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.24.2.1

$x^{2} + x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

चरण 2.2.24.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.24.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.24.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.24.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.25

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{2 (2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}})} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.26

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.27

$2 x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.28

$2 x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.29

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{1 + 1} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.30

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.31

${(2 x + 1)}^{2}$ और $\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.32

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.33

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.34

$\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ और $2$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.35

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.36

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.37

$\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.38

प्रत्येक व्यंजक को $4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.38.1

$\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}})}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.38.2

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.38.2.1

${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ ले जाएं.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.38.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.38.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.38.2.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.38.3

${(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.39

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.40

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.40.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.40.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.2.41

सरल करें.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

चरण 2.4.2

$- \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

${(2 x + 1)}^{2}$ को $(2 x + 1) (2 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{- ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x + 1) (2 x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.3.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.1.5

$2 x$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.1.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.3.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 4 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.5.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.5.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.5.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.6

$- 4 x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 0 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.7

$- 4 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.8

$- 4 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{0 - 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.3.9

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{- 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.4.5

$- - \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}})$

चरण 2.4.5.2

$\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

चरण 4.1.1.2

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

चरण 4.1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.1.2.2

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.1.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + x$ के रूप में सेट करें.

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

चरण 4.1.2.3.2

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

चरण 4.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + x$ से बदलें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

चरण 4.1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.1.2.5

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.1.2.6

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.12

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

चरण 4.1.2.13

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

चरण 4.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

चरण 4.1.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ है.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

चरण 5.2

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

चरण 5.2.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

चरण 5.2.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

चरण 5.2.1.4

$- 2 x - 1$ को $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

चरण 5.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 x - 1 + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 2 x + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.4

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x) + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.5

$2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.6

$- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.7

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.8

$- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.9.1

$- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ को $- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.2.2.9.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 5.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

कोई हल नहीं

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{{(x^{2} + x)}^{1}}} + 1$

चरण 6.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + 1$

चरण 6.2

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$2 \sqrt{x^{2} + x} = 0$

चरण 6.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(2 \sqrt{x^{2} + x})}^{2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

$2^{2} {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2.1.3

घातांक को ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 {(x^{2} + x)}^{1} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2.1.4

सरल करें.

$4 (x^{2} + x) = 0^{2}$

चरण 6.3.2.2.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{2} + 4 x = 0^{2}$

चरण 6.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 x^{2} + 4 x = 0$

चरण 6.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$4 x^{2} + 4 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.1

$4 x^{2}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$4 x (x) + 4 x = 0$

चरण 6.3.3.1.2

$4 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$4 x (x) + 4 x (1) = 0$

चरण 6.3.3.1.3

$4 x (x) + 4 x (1)$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$4 x (x + 1) = 0$

चरण 6.3.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 6.3.3.3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 6.3.3.4

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.4.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 6.3.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 6.3.3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 x (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1$

चरण 6.4

रेडिकैंड को $\sqrt{x^{2} + x}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + x < 0$

चरण 6.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{2} + x = 0$

चरण 6.5.2

$x^{2} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x + x = 0$

चरण 6.5.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x \cdot x + x = 0$

चरण 6.5.2.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

चरण 6.5.2.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 1) = 0$

चरण 6.5.3

$x = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 6.5.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 6.5.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 6.5.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 6.5.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1$

चरण 6.5.7

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

चरण 6.5.8

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.8.1

अंतराल $x < - 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.8.1.1

अंतराल $x < - 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 4$

चरण 6.5.8.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 4$ से बदलें.

${(- 4)}^{2} - 4 < 0$

चरण 6.5.8.1.3

बाईं ओर $12$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 6.5.8.2

अंतराल $- 1 < x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.8.2.1

अंतराल $- 1 < x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 0.5$

चरण 6.5.8.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 0.5$ से बदलें.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 < 0$

चरण 6.5.8.2.3

बाईं ओर $- 0.25$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 6.5.8.3

अंतराल $x > 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.8.3.1

अंतराल $x > 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 6.5.8.3.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

${(2)}^{2} + 2 < 0$

चरण 6.5.8.3.3

बाईं ओर $6$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 6.5.8.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 1$ गलत

$- 1 < x < 0$ सही

$x > 0$ गलत

$x < - 1$ गलत

$- 1 < x < 0$ सही

$x > 0$ गलत

चरण 6.5.9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 1 < x < 0$

चरण 6.6

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = - 1, 0$

चरण 8

$x = - 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 9.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 9.1.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

चरण 9.1.4

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 9.1.5

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

चरण 9.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

चरण 9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{4 \cdot 0}$

चरण 9.3.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{0}$

चरण 9.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 11