कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x - 2 \ln (x + 1)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2 \ln (x + 1)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \ln (x + 1)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ है.

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$1 - 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$1 - 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 1.2.4

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))$

चरण 1.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)$

चरण 1.2.7

$\frac{1}{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 2 \frac{1}{x + 1}$

चरण 1.2.8

$- 2$ और $\frac{1}{x + 1}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{- 2}{x + 1}$

चरण 1.2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{2}{x + 1}$

चरण 1.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}$

चरण 1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + 1 - 2}{x + 1}$

चरण 1.3.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{x - 1}{x + 1}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 1$ और $g (x) = x + 1$ है.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.4.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.6

$f'' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$x + 1 - x - - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{x - 1}{x + 1} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$

चरण 4.1.1.2

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x + 1)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$

चरण 4.1.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$1 - 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$1 - 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.1.2.4

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))$

चरण 4.1.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - 2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)$

चरण 4.1.2.7

$\frac{1}{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 2 \frac{1}{x + 1}$

चरण 4.1.2.8

$- 2$ और $\frac{1}{x + 1}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{- 2}{x + 1}$

चरण 4.1.2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{2}{x + 1}$

चरण 4.1.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}$

चरण 4.1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + 1 - 2}{x + 1}$

चरण 4.1.3.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x - 1}{x + 1}$ है.

$\frac{x - 1}{x + 1}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x - 1}{x + 1} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x - 1}{x + 1} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x + 1 = 0$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 1$

चरण 8

$x = 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{2}{{((1) + 1)}^{2}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{2^{2}}$

चरण 9.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{4}$

चरण 9.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{4}$

चरण 9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

चरण 9.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

चरण 9.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2}$

चरण 10

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = (1) - 2 \ln ((1) + 1)$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (1) = 1 - 2 \ln (2)$

चरण 11.2.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (2)$ को सरल करें.

$f (1) = 1 - \ln (2^{2})$

चरण 11.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (1) = 1 - \ln (4)$

चरण 11.2.2

अंतिम उत्तर $1 - \ln (4)$ है.

$y = 1 - \ln (4)$

चरण 12

ये $f (x) = x - 2 \ln (x + 1)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(1, 1 - \ln (4))$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13