कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2 \arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \arctan (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ है.

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 1.2.3

$- 2$ और $\frac{1}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

चरण 1.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

चरण 1.3.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

चरण 1.3.1.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

चरण 1.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 1$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.4.2

$2$ को $x^{2} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.6

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$2 x^{2} x$ में से $2 x^{2} x$ घटाएं.

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.5.1.2

$2 \cdot 1 x$ और $0$ जोड़ें.

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.5.2.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3.5.3

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

चरण 4

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 1 = 0$

चरण 5

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x^{2} = 1$

चरण 5.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 5.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 5.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 5.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 5.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 6

$x = 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 7

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{4}{2^{2}}$

चरण 7.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{4}$

चरण 7.3

$4$ को $4$ से विभाजित करें.

$1$

चरण 8

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 9

$x = 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

चरण 9.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

चरण 9.2.1.2.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 9.2.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 9.2.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

चरण 9.2.1.3

$- 1 \frac{π}{2}$ को $- \frac{π}{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

चरण 9.2.2

अंतिम उत्तर $1 - \frac{π}{2}$ है.

$y = 1 - \frac{π}{2}$

चरण 10

$x = - 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 11.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

चरण 11.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 4}{2^{2}}$

चरण 11.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 4}{4}$

चरण 11.3

$- 4$ को $4$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 12

$x = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 13

$x = - 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

चरण 13.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.2.1

$- \frac{π}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

चरण 13.2.1.2.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

चरण 13.2.1.2.3

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

चरण 13.2.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

चरण 13.2.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

चरण 13.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

चरण 13.2.1.4

$- 1 (- \frac{π}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

चरण 13.2.1.4.2

$\frac{π}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

चरण 13.2.2

अंतिम उत्तर $- 1 + \frac{π}{2}$ है.

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

चरण 14

ये $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 15