कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = 4 \sqrt[4]{x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt[4]{x}$ को $x^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

चरण 1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{\frac{1}{4}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{4}$ है.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

चरण 1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

चरण 1.5

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

चरण 1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

चरण 1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

चरण 1.7.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

चरण 1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

चरण 1.9

$\frac{1}{4}$ और $x^{- \frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

चरण 1.10

$4$ और $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

चरण 1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{3}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 1.12

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 1.13

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ को ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

चरण 2.1.2

घातांक को ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

चरण 2.1.2.2

$\frac{3}{4} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

चरण 2.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

चरण 2.1.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{3}{4}$ है.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1}$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}}$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}}$

चरण 2.6.2

$- 3$ में से $4$ घटाएं.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}}$

चरण 2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}}$

चरण 2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

चरण 2.8.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ को $\frac{3}{4}$ से गुणा करें.

$g'' (x) = - \frac{3}{x^{\frac{7}{4}} \cdot 4}$

चरण 2.8.2.2

$4$ को $x^{\frac{7}{4}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$g'' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sqrt[4]{x}$ को $x^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

चरण 4.1.2

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

चरण 4.1.3

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

चरण 4.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

चरण 4.1.5

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

चरण 4.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

चरण 4.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

चरण 4.1.7.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

चरण 4.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

चरण 4.1.9

$\frac{1}{4}$ और $x^{- \frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

चरण 4.1.10

$4$ और $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

चरण 4.1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{3}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 4.1.12

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 4.1.13

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 4.2

$g (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ है.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 5.3

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

चरण 6.2

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

चरण 6.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष के करणी को हटाने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ के घात तक बढ़ाएँ.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

चरण 6.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\sqrt[4]{x^{3}}$ को $x^{\frac{3}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

चरण 6.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

घातांक को ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

चरण 6.3.2.2.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

चरण 6.3.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{3} = 0^{4}$

चरण 6.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x^{3} = 0$

चरण 6.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 6.3.3.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 6.3.3.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 6.4

रेडिकैंड को $\sqrt[4]{x^{3}}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{3} < 0$

चरण 6.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

चरण 6.5.2

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x < \sqrt[3]{0}$

चरण 6.5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.2.1.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 6.5.2.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x < 0$

चरण 6.6

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{7}{4}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$0$ को $0^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{3}{4 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}}$

चरण 9.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

चरण 9.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{7}}$

चरण 9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{3}{4 \cdot 0}$

चरण 9.3.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{0}$

चरण 9.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$- \frac{3}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 11