कैलकुलस उदाहरण

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ है.

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3 i$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 \sin (t) i$ का व्युत्पन्न $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ है.

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.2.2

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का व्युत्पन्न $\cos (t)$ है.

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 5 j$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 5 \cos (3 t) j$ का व्युत्पन्न $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ है.

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 3 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 t$ के रूप में सेट करें.

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.3

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.6

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.3.7

$- 3$ को $- 5$ से गुणा करें.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $k$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $e^{- 7 t} k$ का व्युत्पन्न $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ है.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

चरण 1.4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - 7 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 7 t$ के रूप में सेट करें.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

चरण 1.4.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

चरण 1.4.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 7 t$ से बदलें.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

चरण 1.4.3

चूंकि $- 7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 7 t$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 1.4.4

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

चरण 1.4.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

चरण 1.4.6

$- 7$ को $e^{- 7 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

चरण 1.5.2

गुणनखंडों को $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ में पुन: क्रमित करें.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ है.

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.2

$\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $3 i$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 i \cos (t)$ का व्युत्पन्न $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ है.

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.2.2

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3

$\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $15 j$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $15 j \sin (3 t)$ का व्युत्पन्न $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ है.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 3 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 t$ के रूप में सेट करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 t$ से बदलें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.3

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.4

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.6

$3$ को $\cos (3 t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.3.7

$3$ को $15$ से गुणा करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

चरण 2.4

$\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 7 k$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 7 k e^{- 7 t}$ का व्युत्पन्न $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ है.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

चरण 2.4.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 7 t$ के रूप में सेट करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

चरण 2.4.2.2

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

चरण 2.4.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 7 t$ से बदलें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

चरण 2.4.3

चूंकि $- 7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 7 t$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

चरण 2.4.4

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

चरण 2.4.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

चरण 2.4.6

$- 7$ को $e^{- 7 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

चरण 2.4.7

$- 7$ को $- 7$ से गुणा करें.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

चरण 4

$t = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5.1.2

$0$ को $- 3$ से गुणा करें.

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5.1.3

$0$ को $i$ से गुणा करें.

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5.1.4

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5.1.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5.1.6

$45$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

चरण 5.1.7

$- 7$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

चरण 5.1.8

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

चरण 5.1.9

$49$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 45 j + 49 k$

चरण 5.2

$0$ और $45 j$ जोड़ें.

$45 j + 49 k$

चरण 6

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 7