कैलकुलस उदाहरण

$h (y) = \arctan (y^{2})$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \arctan (y)$ और $g (y) = y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घातांक को ${(y^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

चरण 1.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2$ और $\frac{1}{1 + y^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

चरण 1.2.3.2

$\frac{2}{1 + y^{4}}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

चरण 1.2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ है.

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = y^{4} + 1$ है.

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.2

$y^{4} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{4} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.5

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$4 y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.3.6.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.4

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$y^{3}$ ले जाएं.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.4.2

$y^{3}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.4.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.5

$y^{4}$ में से $4 y^{4}$ घटाएं.

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

चरण 2.6

$2$ और $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.3

$- 6 y^{4} + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.1

$- 6 y^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.3.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.3.3

$2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.4

$- 3 y^{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.5

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.6

$- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.7

$- (3 y^{4} - 1)$ को $- 1 (3 y^{4} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

चरण 4

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 y = 0$

चरण 5

$2 y = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 y = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{0}{2}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = 0$

चरण 6

$y = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 7

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 7.1.2

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 7.1.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

चरण 7.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

चरण 7.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2}{1}$

चरण 7.3.2

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- - 2$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2$

चरण 8

$y = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$y = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 9

$y = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $y$ को $0$ से बदलें.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$h (0) = \arctan (0)$

चरण 9.2.2

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$h (0) = 0$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$y = 0$

चरण 10

ये $h (y) = \arctan (y^{2})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 0)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 11