कैलकुलस उदाहरण

$p (t) = 561 + (36 t^{0.6} - 108)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $561 + 36 t^{0.6} - 108$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ है.

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 1.1.2

चूंकि $t$ के संबंध में $561$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $561$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $36$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $36 t^{0.6}$ का व्युत्पन्न $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ है.

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 0.6$ है.

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 1.2.3

$0.6$ को $36$ से गुणा करें.

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 1.3

चूंकि $t$ के संबंध में $- 108$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 108$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$21.6$ और $\frac{1}{t^{0.4}}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

चरण 1.4.2.2

$0$ और $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ जोड़ें.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

चरण 1.4.2.3

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $21.6$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ का व्युत्पन्न $21.6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{0.4}}]$ है.

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (\frac{1}{t^{0.4}})$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{t^{0.4}}$ को ${(t^{0.4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} ({(t^{0.4})}^{- 1})$

चरण 2.2.2

घातांक को ${(t^{0.4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{0.4 \cdot - 1})$

चरण 2.2.2.2

$0.4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{- 0.4})$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 0.4$ है.

$p'' (t) = 21.6 (- 0.4 t^{- 1.4})$

चरण 2.4

$- 0.4$ को $21.6$ से गुणा करें.

$p'' (t) = - 8.64 t^{- 1.4}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$p'' (t) = - 8.64 \frac{1}{t^{1.4}}$

चरण 2.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$- 8.64$ और $\frac{1}{t^{1.4}}$ को मिलाएं.

$p'' (t) = \frac{- 8.64}{t^{1.4}}$

चरण 2.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$p'' (t) = - \frac{8.64}{t^{1.4}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 4.1.1.2

चूंकि $t$ के संबंध में $561$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $561$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 4.1.2.2

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 4.1.2.3

$0.6$ को $36$ से गुणा करें.

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

चरण 4.1.3

चूंकि $t$ के संबंध में $- 108$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 108$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

चरण 4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

चरण 4.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.1

$21.6$ और $\frac{1}{t^{0.4}}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

चरण 4.1.4.2.2

$0$ और $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ जोड़ें.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

चरण 4.1.4.2.3

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (t) = \frac{21.6}{t^{0.4}}$

चरण 4.2

$p (t)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $t$ , $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ है.

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$21.6 = 0$

चरण 5.3

$21.6 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$0.4$ को भिन्न में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

दशमलव को हटाने के लिए $\frac{10}{10}$ से गुणा करें.

$\frac{21.6}{t^{\frac{10 \cdot 0.4}{10}}}$

चरण 6.1.1.2

$10$ को $0.4$ से गुणा करें.

$\frac{21.6}{t^{\frac{4}{10}}}$

चरण 6.1.1.3

$4$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 (2)}{10}}}$

चरण 6.1.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

चरण 6.1.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

चरण 6.1.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2}{5}}}$

चरण 6.1.2

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$

चरण 6.2

$\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt[5]{t^{2}} = 0$

चरण 6.3

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष के करणी को हटाने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को $5$ के घात तक बढ़ाएँ.

${\sqrt[5]{t^{2}}}^{5} = 0^{5}$

चरण 6.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\sqrt[5]{t^{2}}$ को $t^{\frac{2}{5}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(t^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

चरण 6.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

घातांक को ${(t^{\frac{2}{5}})}^{5}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

चरण 6.3.2.2.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

चरण 6.3.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$t^{2} = 0^{5}$

चरण 6.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$t^{2} = 0$

चरण 6.3.3

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$t = \pm \sqrt{0}$

चरण 6.3.3.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.3.3.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$t = \pm 0$

चरण 6.3.3.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$t = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$t = 0$

चरण 8

$t = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{8.64}{{(0)}^{1.4}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{8.64}{0}$

चरण 9.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 11