कैलकुलस उदाहरण

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 1

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 9$ और $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ है.

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - \frac{x}{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- \frac{x}{4}$ के रूप में सेट करें.

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x}{4}$ से बदलें.

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- \frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x}{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.3.2

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 2.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 2.3.6

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 2.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

चरण 2.3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

चरण 2.3.8.2

$e^{- \frac{x}{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x$ और $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2.4.2.2

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2.4.2.3

$- 9$ और $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2.4.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 2.4.2.5

$e^{- \frac{x}{4}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 2.4.2.6

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

चरण 2.4.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

चरण 2.4.2.8

$4$ को $e^{- \frac{x}{4}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 2.4.2.9

$- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ और $4 e^{- \frac{x}{4}}$ जोड़ें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 2.4.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- \frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{4}}]$ है.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ है.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{4}}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- \frac{x}{4}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x}{4}$ से बदलें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.4

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.5

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.6

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.8

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.9

$x$ और $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.2.10

$e^{- \frac{x}{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- \frac{5}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}]$ है.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 3.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- \frac{x}{4}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

चरण 3.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

चरण 3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x}{4}$ से बदलें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

चरण 3.3.3

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x))$

चरण 3.3.4

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1))$

चरण 3.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4}))$

चरण 3.3.6

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

चरण 3.3.7

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + 1 (\frac{5}{4}) \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 3.3.8

$\frac{5}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 3.3.9

$\frac{5}{4}$ को $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4}$

चरण 3.3.10

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.3

$\frac{1}{4}$ को $\frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.4

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.5

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.6

$- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.7

प्रत्येक व्यंजक को $16$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.7.1

$\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.7.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{16} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4 + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.9

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- 4 e^{- \frac{x}{4}} + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 3.4.2.10

$- 4 e^{- \frac{x}{4}}$ और $5 e^{- \frac{x}{4}}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

चरण 5

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- \frac{x}{4}$ के रूप में सेट करें.

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.2.2

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x}{4}$ से बदलें.

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.3.2

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.3.3

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

चरण 5.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 5.1.3.6

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 5.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

चरण 5.1.3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

चरण 5.1.3.8.2

$e^{- \frac{x}{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.2.1

$x$ और $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.1.4.2.2

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.1.4.2.3

$- 9$ और $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.1.4.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

चरण 5.1.4.2.5

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 5.1.4.2.6

$e^{- \frac{x}{4}}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

चरण 5.1.4.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

चरण 5.1.4.2.8

$4$ को $e^{- \frac{x}{4}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 5.1.4.2.9

$- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ और $4 e^{- \frac{x}{4}}$ जोड़ें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 5.1.4.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 5.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ है.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

चरण 6.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = - 5$

चरण 7

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 8

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = - 5$

चरण 9

$x = - 5$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- 5 e^{- - \frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

चरण 10.2.2

$- - \frac{5}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 e^{1 (\frac{5}{4})} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

चरण 10.2.2.2

$\frac{5}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

चरण 10.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- - \frac{5}{4}}}{16}$

चरण 10.2.4

$- - \frac{5}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{1 (\frac{5}{4})}}{16}$

चरण 10.2.4.2

$\frac{5}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{\frac{5}{4}}}{16}$

चरण 10.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$- 5 e^{\frac{5}{4}}$ और $e^{\frac{5}{4}}$ जोड़ें.

$\frac{- 4 e^{\frac{5}{4}}}{16}$

चरण 10.3.2

$- 4 e^{\frac{5}{4}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{16}$

चरण 10.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 (4)}$

चरण 10.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 4}$

चरण 10.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- e^{\frac{5}{4}}}{4}$

चरण 10.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{\frac{5}{4}}}{4}$

चरण 11

$x = - 5$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 5$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 12

$x = - 5$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5$ से बदलें.

$f (- 5) = ((- 5) + 9) \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

चरण 12.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 5$ और $9$ जोड़ें.

$f (- 5) = 4 \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

चरण 12.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- 5) = 4 e^{\frac{5}{4}}$

चरण 12.2.3

अंतिम उत्तर $4 e^{\frac{5}{4}}$ है.

$y = 4 e^{\frac{5}{4}}$

चरण 13

ये $f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- 5, 4 e^{\frac{5}{4}})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 14